Másodfokú egyenlet

Bevitt példa megoldása

– 2·x² – 100·x + 10000 = 0

Tehát láthatjuk, hogy:
a = (– 2);    b = (– 100);    c = 10000

x1;2 = – b ± √ b² – 4·a·c 
2·a

x1;2 = – (– 100) ± √ (– 100)² – 4·(– 2)·10000 
2·(– 2)

x1;2 = 100 ± √ (– 100)² – 4·(– 2)·10000 
– 4

x1;2 = 100 ± √ 10000 – (– 80000)  
– 4

x1;2 = 100 ± √ 10000 + 80000  
– 4

x1;2 = 100 ± √ 90000 
– 4

Mint látjuk a diszkriminánsunk:
D = 90000

x1;2 = 100 ± 300
– 4

x1 = 100 + 300 = 400
– 4 – 4

x1 = – 100

x2 = 100 – 300 = – 200
– 4 – 4

x2 = 50

Feladat bevitele

 x² +   x +   = 0
Mintafeladatok »
Egyszerű mintafeladatok »
Nyomtatás

Megoldóképlet és diszkrimináns

A másodfokú egyenlet rendezése és 0-ra redukálása után az egyenlet alakja:

a·x² + b·x + c = 0

Az a a másodfokú tag együtthatója, a b az elsőfokúé, míg a c a konstans. A másodfokú egyenlet megoldóképlete:

x1;2 = – b ± √ b² – 4·a·c 
2·a

Az egyenlet diszkriminánsa a megoldóképletben a gyök alatt álló kifejezés, tehát:

D = b² – 4·a·c

A diszkriminánsból tudunk következtetni a gyökök (megoldások) számára. Ha D < 0, akkor nincs megoldás, ha D = 0, akkor egy megoldás van (azaz két egyforma), illetve ha D > 0, akkor két különböző valós gyököt fogunk kapni.

Viète formulák és gyöktényezős alak

A Viète-formulák egy polinom (itt a másodfokú egyenlet) gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket határozzák meg.

x1 + x2 = – b
a
x1·x2 = c
a

A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja, ha az a a másodfokú tag együtthatója, a gyökök pedig x1 és x2:

a·(x – x1)·(x – x2) = 0