Másodfokú egyenlet

Bevitt példa megoldása

5·x² – 10·x + 0 = 0

Tehát láthatjuk, hogy:
a = 5;    b = (– 10);    c = 0

Mivel a konstansunk nulla (c = 0), a megoldóképlettel nem kell vesződni, egyszerűbben is megoldható az egyenlet, ha kiemelünk x -et:

5·x² – 10·x = 0

x·(5·x – 10) = 0

Egy szorzat akkor nulla, ha bármely tényezője nulla, tehát:

x = 0 és/vagy
(5·x – 10) = 0

x1 = 0;    x2 = 2

 

Természetesen a megoldóképlet is működik:

x1;2 = – b ± √ b² – 4·a·c 
2·a

x1;2 = – (– 10) ± √ (– 10)² – 4·5·0 
2·5

x1;2 = 10 ± √ (– 10)² – 4·5·0 
10

x1;2 = 10 ± √ 100 – 0  
10

x1;2 = 10 ± √ 100 
10

Mint látjuk a diszkriminánsunk:
D = 100

x1;2 = 10 ± 10
10

x1 = 10 + 10 = 20
10 10

x1 = 2

x2 = 10 – 10 = 0
10 10

x2 = 0

Feladat bevitele

 x² +   x +   = 0
Mintafeladatok »
Egyszerű mintafeladatok »
Nyomtatás

Megoldóképlet és diszkrimináns

A másodfokú egyenlet rendezése és 0-ra redukálása után az egyenlet alakja:

a·x² + b·x + c = 0

Az a a másodfokú tag együtthatója, a b az elsőfokúé, míg a c a konstans. A másodfokú egyenlet megoldóképlete:

x1;2 = – b ± √ b² – 4·a·c 
2·a

Az egyenlet diszkriminánsa a megoldóképletben a gyök alatt álló kifejezés, tehát:

D = b² – 4·a·c

A diszkriminánsból tudunk következtetni a gyökök (megoldások) számára. Ha D < 0, akkor nincs megoldás, ha D = 0, akkor egy megoldás van (azaz két egyforma), illetve ha D > 0, akkor két különböző valós gyököt fogunk kapni.

Viète formulák és gyöktényezős alak

A Viète-formulák egy polinom (itt a másodfokú egyenlet) gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket határozzák meg.

x1 + x2 = – b
a
x1·x2 = c
a

A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja, ha az a a másodfokú tag együtthatója, a gyökök pedig x1 és x2:

a·(x – x1)·(x – x2) = 0