Másodfokú egyenlet

Bevitt példa megoldása

8·x² – 5·x – 3 = 0

Tehát láthatjuk, hogy:
a = 8;    b = (– 5);    c = (– 3)

x1;2 = – b ± √ b² – 4·a·c 
2·a

x1;2 = – (– 5) ± √ (– 5)² – 4·8·(– 3) 
2·8

x1;2 = 5 ± √ (– 5)² – 4·8·(– 3) 
16

x1;2 = 5 ± √ 25 – (– 96)  
16

x1;2 = 5 ± √ 25 + 96  
16

x1;2 = 5 ± √ 121 
16

Mint látjuk a diszkriminánsunk:
D = 121

x1;2 = 5 ± 11
16

x1 = 5 + 11 = 16
16 16

x1 = 1

x2 = 5 – 11 = – 6
16 16

x2 = – 0.375

Feladat bevitele

 x² +   x +   = 0
Mintafeladatok »
Egyszerű mintafeladatok »
Nyomtatás

Megoldóképlet és diszkrimináns

A másodfokú egyenlet rendezése és 0-ra redukálása után az egyenlet alakja:

a·x² + b·x + c = 0

Az a a másodfokú tag együtthatója, a b az elsőfokúé, míg a c a konstans. A másodfokú egyenlet megoldóképlete:

x1;2 = – b ± √ b² – 4·a·c 
2·a

Az egyenlet diszkriminánsa a megoldóképletben a gyök alatt álló kifejezés, tehát:

D = b² – 4·a·c

A diszkriminánsból tudunk következtetni a gyökök (megoldások) számára. Ha D < 0, akkor nincs megoldás, ha D = 0, akkor egy megoldás van (azaz két egyforma), illetve ha D > 0, akkor két különböző valós gyököt fogunk kapni.

Viète formulák és gyöktényezős alak

A Viète-formulák egy polinom (itt a másodfokú egyenlet) gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket határozzák meg.

x1 + x2 = – b
a
x1·x2 = c
a

A másodfokú egyenlet gyöktényezős alakja, ha az a a másodfokú tag együtthatója, a gyökök pedig x1 és x2:

a·(x – x1)·(x – x2) = 0